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「人本電子報」寄出的文章
標題:教出數理小天才
作者:江思妤
來源:人本教育基金會
寄出時間:一九九九年一月十二日


在高斯(註一)十歲的時候,有一天老師出了一個「難題」:
「把1到100的整數都寫下來,然後求其和。」所有的小孩都埋
頭苦寫,算得焦頭爛額,只有高斯搖了搖筆,不到一分鐘的時
間,就將答案交給老師。考完後,老師檢查每個人的答案,大
部份的孩子都計算錯了,只有一個答案,上面什麼計算過程都
沒有,光躺著四個數字──5050,那就是高斯的回答,而且是
正確答案。

高斯的算法,說穿了其實沒什麼了不起。1+2+3+4+……
+97+98+99+100,如果我們不願意乖乖的從頭開始一個一個加,
那麼不妨試著把題目放遠一點,仔細看看題目的「長相」,我
們很快就會發現:1+100=101,2+99=101,……頭尾相加都等
於101,一共有50個101,答案當然就是5050 (註二)。

這麼理所當然的事情,很多人卻認為,只有天才如高斯,才可
能想出這種機巧的解法;從來沒人質疑過:老師沒事出個1加
到100的題目,目的到底是什麼?「要熟練計算能力呀!」我
猜很多人心裡頭是這麼想著,的確,精確的計算能力是數學非
常重要的一部份,也是許多小學生的父母最煩惱的問題,一年
級學完,還不知道19之後是20;二年級了,數手指頭還會數錯
;三年級還在掰手指頭算加減……;隨著年級的增加,數學的
問題越來越難,解題的「技法」也越來越機巧,所以,當我們
逐漸的長大,「數學細胞」也就快速的老去。

然而,事情真的是這樣嗎?

事實是,二百年前,高斯的老師出了這樣的題目,把除了高斯
之外的小孩的「數學細胞」通通給殺光光;二百年後,數學有
了微積分等種種高明的「看事情的方法」,我們教數學的方法
仍和高斯的老師一樣,繼續扼殺我們小孩的數學細胞。

高斯曾說:數學,要緊的是概念而不是符號。我們可以舉一反
三的說:計算,要緊的是概念而不是結果的對錯。如果高斯和
他的同學一樣,一個數字一個數字慢慢的加,大概也是要算錯
的;同樣的,如果高斯的老師不是出完題目就等學生把答案算
出來,而是和同學們一起討論「可以怎麼把答案算出來?」,
全班同學大概也會發展出和高斯一樣的辦法。

數學的機巧,說穿了,不過就是看出問題的特徵,但要有能力
看出特徵,卻是需要時間的蘊釀與等待;小孩學數學發生困難,
往往不是因為他們不會,而是因為他們還來不及發展自己的想
法,就被要求要照著既定的方式解題。解題的方式與技巧,學
校老師都會教,其實家長是不必太擔心;但「思考」與「等待」
的工作,當孩子在學校沒有辦法充份發揮時,家裡提供一個不
催促、不逼迫、一起看問題而不急著算出答案的環境,對孩子
的數學能力的發展就相對重要起來了。

我們再來看一個問題:99999×100001=?

要怎麼做呢?直接硬算並非不可能,但如果我們願意稍待一
下,認真的認識一下題目,怎麼看都會覺得99999和100001
「二人」之間必定存在著不尋常的關係吧?至少兩人都蠻麻煩
的,如果是100000就簡單的多了,這樣一想,我們就發現:

99999=100000-1;100001=100000+1,

這種數字都是「1」和「0」的計算是最好做不過了,
所以呢,我們就這樣做:

(100000-1)×(100000+1)
=10000000000-100000+100000-1
=9999999999
(註三)

這樣不就清爽多了。同樣的道理,99×199也可以想成是:
(100-1)×(200-1)。只要我們不要求自己像電子計算機,那麼
我們離高斯的距離就不遠了。

註一:高斯是十八、十九世紀德國的數學家,被喻為數學天才,
是把數學應用到重力、磁學和電學等領域的先驅。

註二:也可以看成1+99=100,2+98=100,一共有49個100加
上最後那個100以及沒有「伴」到的50,答案仍然是5050。

註三:這其實就是平方公式a2-b2=(a+b)×(a-b)。但請務
必不要直接教小孩這個公式,那樣會抹殺孩子開放創造的心
靈。在這裡,我們主要是協助孩子發展數字的感受力與計算的
思考能力;抽象符號運作的教學方法,讓我們留待以後再來討
論。



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